导数判断函数的单调性步骤口诀 利用导数确定函数单调区间

今天老黄要介绍利用导数确定函数的单调区间的方法。主要是讲解几道例题，然后再归纳一般方法。

确定下列函数的单调区间：

(1)f(x)=3x-x^3；(2)f(x)=2x^2-lnx；(3)f(x)=根号内(2x-x^2)；(4)f(x)=(x^2-1)/x.

第一步，先求f(x)的导函数：f’(x)=3-3x^2；

第二步，判断导函数的零点。即当f'(x)=0时，易求得x等于±1.

第三步，判断导数在以零点为端点的区间上的符号性质。显然，当x属于(-1,1)时，f'(x)>0，当x属于(-∞,-1]U[1, ∞)时，f'(x)<0.

在导函数大于0的区间上，原函数就递增；在导函数小于0的区间上，原函数就递减。而且这里在开区间上是严格单调的。

几个函数的单调区间的求法都是同样的套路。接下来给出解题过程：

解：(1)f’(x)=3-3x^2,

当f’(x)=0时, x=±1.

当-1<x<1时, f’(x)>0；当x>1或x<-1时, f’(x)<0，

∴f在[1,-1]上递增，在(-∞,-1]∪[1, ∞)上递减.

(2)f’(x)=4x-1/x=(4x^2-1)/x (x>0), 这里要注意函数的定义域。

当f’(x)=0时, x=±1/2 (负数舍去).

当0<x<1/2时, f’(x)<0；当x>1/2时, f’(x)>0，

∴f在(0, 1/2]上递减，在[0, ∞)上递增.

(3)f’(x)= (1-x)根号(2x-x^2)，(0<x<2), 注意原函数和导函数的定义域，

当f’(x)=0时, x=1.

当0<x<1时, f’(x)>0；当1<x<2时, f’(x)<0，

∴f在(0,1]上递增，在[1,2)上递减.

(4)f’(x)= (2x^2-(x^2-1))/x^2=(x^2 1)/x^2>0 (x≠0),

∴f在(-∞,0)U(0, ∞)上递增.

最后一个函数和前面的函数又有所不同，因为它的导函数恒大于0，所以不存在0点，整个定义域都是一个单调区间。

下面组织利用导数确定函数的单调区间的一般步骤：

(1)先确定原函数的定义域，任何函数问题，最好先确定定义域，以免解题过程中忘记，造成马夫的错误；

(2)求导，并确定导函数的定义域，与原函数的定义域形成的交集，就是我们研究的区间；

(3)如果导函数在定义域上恒大于0则原函数在定义域上增，若恒小于0，则函数在定义域上减；否则就求导函数的零点；

(4)根据导函数的定义域和零点，确定导函数的正区间和负区间；

(5)导函数的正区间就是原函数的单调增区间，而导函数的负区间就是原函数的单调减区间。