根号2的根号2次方解答过程：无限个根号2的根号2次方等于几

今天我们来讨论一个有趣的问题。

求值：√2^√2^√2^√2^…=？

我们首先搞清楚第一个问题，这个式子是如何计算的？

无限个√2太复杂了，我们以3个√2为例来进行说明。

a^b^c=a^(b^c)

a^b^c≠(a^b)^c=a^(bc)

特别强调，计算a^b^c是从上往下算的，而不是从下往上算的！

√2^√2^√2=√2^(√2^√2)

√2^√2^√2≠(√2^√2)^√2

=√2^(√2×√2)=√2^2

√2^√2^√2=√2^(√2^√2)

可能有人会有疑问

那么√2^√2=？，应该如何计算？

答案非常令人意外，√2^√2的值目前还无法精确计算，只能利用√2的近似值去进行逼近。甚至，目前人们连√2^√2到底是无理数还是有理数都无法给出准确定论。

那么问题来了，既然√2^√2无法精确计算，我们又怎么能够计算出√2^√2^√2^…呢？

真实情况非常反直觉，虽然√2^√2无法精确计算

但是√2^√2^√2^…却可以求出其精确值。

接下来，我们来解决第二个问题：

√2^√2^√2^…这个式子的含义是什么？

式子里面的省略号代表有无限个√2的√2次方，我们可以把这个式子看成一个数列的极限值。

√2，√2^√2，√2^√2^√2，…

这个数列的通项

an=√2^√2^…^√2，【n个√2】

√2^√2^√2^√2^…=lim(an)

=lim√2^√2^√2^…^√2，n→∞

搞清楚了这个式子的含义，接下来还不能着急去求值，我们必须要先证明这个数列的极限是存在的，也就是收敛的。

我们应该如何去证明一个数列是收敛的呢？

这就需要利用到一个非常重要的定理：单调有界定理。

单调有界定理：如果一个数列是单调并且有界的，那么这个数列必存在极限。

一、有界性

对于数列{an}

若an≤M，则{an}有上界；

若an≥M，则{an}有下界；

若∣an∣≤M，则{an}有界；

求证：an=√2^√2^√2^…^√2

【n个√2】，{an}有上界

证明：a1=√2＜2

a2=√2^√2＜√2^2=2

a3=√2^√2^√2=√2^(√2^√2)

＜√2^2=2

…………

以此类推，容易证明

an＜2

严格证明可采用数学归纳法，这里略去不讲。

所以，{an}有上界为2，证毕！

二、单调性

对于数列{an}

若a(n 1)≥an，则{an}单调递增；

若a(n 1)≤an，则{an}单调递减；

求证：an=√2^√2^√2^…^√2

【n个√2】，{an}有上界

证明：

an=√2^√2^…^√2，【n个√2】

a(n 1)=√2^√2^…^√2^√2

【(n 1)个√2】

=√2^√2^…^√2^(√2^√2)

＞√2^√2^…^√2^(√2^1)

=√2^√2^…^√2，【n个√2】

=an

a(n 1)＞an

所以，{an}有单调递增，证毕！

综上，数列{an}有单调递增有上界为2。

根据单调有界定理：

数列{an}必存在极限，且极限小于等于2。

到这里，我们终于证得此极限存在，接下来我们来求出这个极限。

求值：√2^√2^√2^√2^…=？

解：设a=√2^√2^√2^√2^…

很显然，a＞0

前面已证，a≤2

0＜a≤2

a=√2^√2^√2^√2^…

=√2^(√2^√2^√2^…)

=√2^a

a=√2^a

作一次函数y=x和指数函数y=√2^x的图像

容易观察，两个函数的图像最多有两个交点。

进一步观察，容易发现

a=2和a=4是方程a=√2^a的两个根

√2^2=2

√2^4=√2^(2×2)=(√2^2)^2=2^2=4

a=2或a=4

0＜a≤2

a=4＞2，舍掉

a=2，成立

√2^√2^√2^√2^…=2

补充说明：

对于方程a=√2^a，0＜a≤2

也可对函数f(a)=a-√2^a求导

得出f(a)在(0，2]上单调递增

从而得出方程只有一个根：a=2

总结一下：

①对于无限次运算的表达式，首先视为一个数列的极限值；

②分别证明这个数列的单调性和有界性；

③根据单调有界定理确定这个极限的存在性；

④求出这个极限值。

最后，给大家留一个思考题。

求值：√{6 √[6 √(6 …)]}=?

答案可前往我的主页进行查找。