排列组合零基础教学：学会这个预备知识排列组合轻松拿下

预备知识 排列组合

学习概率论要用到排列组合的基本知识，更重要的是要用到排列组合的思维方法，因此将排列组合的内容归纳总结如下：

1。基本原理

例1 从甲村到乙村共有两类方式：第1类方式是走旱路，有3条路线；第2类方式是走水路，有2条路线，如图0-1。问从甲村到乙村共有多少种走法？

图0-1

解：完成从甲村到乙村这件事情，走旱路与走水路这两类方式是并列的，沿着它们中的每一条路线都可以到达目的地，因此从甲村到乙村共有

3 2=5

种走法。

这样的例子是很多的，概括起来，就得到加法原理。

加法原理 完成一件事情共有r类方式：第1类方式有m₁种方法，第2类方式有m₂种方法，…，第r类方式有m_r种方法，则完成这件事情共有

m₁ m₂ … m_r

种方法。

例2 从甲村到丙村必须经过乙村，而从甲村到乙村有5条路线，从乙村到丙村有4条路线，如图0-2。问从甲村到丙村共有多少种走法？

图0-2

解：完成从甲村到丙村这件事情，必须依次经过两个步骤：第1个步骤是从甲村到乙村，有5条路线；第2个步骤是从乙村到丙村，有4条路线。只有这两个步骤都完成了，才能到达目的地，缺少哪一个步骤都不行。由于从甲村到乙村的每一条路线都对应从甲村到丙村的4条路线，因此从甲村到丙村共有

5×4=20

种走法。

这样的例子是很多的，概括起来，就得到乘法原理。

乘法原理 完成一件事情必须依次经过l个步骤：第1个步骤有n₁种方法，第2个步骤有n₂种方法，…，第l个步骤有n_l种方法，则完成这件事情共有

n₁n₂…n_l

种方法。

在应用基本原理时，必须注意加法原理与乘法原理的根本区别。若完成一件事情有多类方式，其中每一类方式的任一种方法都可以完成这件事情，则用加法原理；若完成一件事情必须依次经过多个步骤，缺少其中任一个步骤都不能完成这件事情，则用乘法原理。

例3 某班共有26名同学，分成3个组，其中第一组有9名同学，第二组有8名同学，第三组有9名同学，现在全校举行歌咏比赛，每名同学都有资格参加。问：

（1）若从全班选派1名同学参加全校歌咏比赛，共有多少种选法？

（2）若从每组各选派1名同学参加全校歌咏比赛，共有多少种选法？

解：（1）完成从全班选派1名同学参加全校歌咏比赛这件事情，共有三类方式：第1类方式是从第一组选派1名同学参加全校歌咏比赛，有9种选法；第2类方式是从第二组选派1名同学参加全校歌咏比赛，有8种选法；第3类方式是从第三组选派1名同学参加全校歌咏比赛，有9种选法。这三类方式是并列的，其中每一类方式的任一种选法都可以完成这件事情，根据加法原理，所以从全班选派1名同学参加全校歌咏比赛共有

9 8 9=26

种选法。其实，从全班26名同学中选派1名同学参加全校歌咏比赛，当然有26种选法。

（2）完成从每组各选派1名同学参加全校歌咏比赛这件事情，必须依次经过三个步骤：第1个步骤是从第一组选派1名同学参加全校歌咏比赛，有9种选法；第2个步骤是从第二组选派1名同学参加全校歌咏比赛，有8种选法；第3个步骤是从第三组选派1名同学参加全校歌咏比赛，有9种选法。这三个步骤是必须依次完成的，缺少其中任一个步骤都不能完成这件事情，根据乘法原理，所以从每组各选派1名同学参加全校歌咏比赛共有

9×8×9=648

种选法。

2.元素不重复的排列

例4 用3个数字5，7，9可以组成多少个数字不重复的两位数？

解：组成数字不重复的两位数，必须依次经过两个步骤：第1个步骤是确定十位数，这时数字5，7，9都可以放在十位上，有3种方法；第2个步骤是确定个位数，由于要求个位数与十位数不能重复，这时只能从所给3个数字去掉放在十位上的数字后剩余2个数字中取出1个数字放在个位上，有2种方法。只有这两个步骤都完成了，才能组成数字不重复的两位数，缺少哪一个步骤都不行。根据乘法原理，所以组成数字不重复的两位数共有

3×2=6

种方法，即可以组成6个数字不重复的两位数，它们是

57，59，75，79，95，97

在例4中，数字5...

定义0.1 从n个不同元素中，每次取出m（m≤n）个不同元素排成一列，所有这样排列的个数称为排列数，记作

。

如何计算排列数

？从n个不同元素中取出m个不同元素排成一列，必须依次经过m个步骤：第1个步骤是确定排列第1位置上的元素，这时是从n个不同元素中取出1个元素放在这个位置上，有n种方法；第2个步骤是确定排列第2位置上的元素，考虑到排列第1位置上已经占用了1个元素，这时是从剩余的n-1个不同元素中取出1个元素放在这个位置上，有n-1种方法；…；第m个步骤是确定排列第m位置上的元素，考虑到排列前m-1个位置上已经占用了m-1个元素，这时是从剩余的n-（m-1）=n-m 1个不同元素中取出1个元素放在这个位置上，有n-m 1种方法。根据乘法原理，共有

n（n-1）…（n-m 1）

种方法。由于一种方法对应一个排列，所以所有这样排列的个数即排列数

=n（n-1）…（n-m 1）

若m＜n，则称排列为选排列；若m=n，则称排列为全排列，这时排列数

=n（n-1）…·1=n!

例5 根据排列数的计算公式，有排列数

例6 从10人中选举正副组长各1名，问共有多少种选举结果？

解：从10人中选举正副组长各1名，意味着从10人中选出2人排队，不妨规定排在前面的是正组长，排在后面的是副组长，相当于从10个不同元素中每次取出2个不同元素的元素不重复选排列，这样的排列共有

个。由于一个排列对应一种选举结果，所以共有

=10×9=90

种选举结果。

值得注意的是：在甲、乙都当选的情况下，甲为正组长、乙为副组长与乙为正组长、甲为副组长是两种选举结果。

例7 6台不同品牌的洗衣机摆在展厅内排成一列，问：

（1）共有多少种排法？

（2）若要求其中某一台洗衣机摆在中间位置，有多少种排法？

解：（1）6台不同品牌的洗衣机排成一列，相当于从6个不同元素中每次取出6个不同元素的元素不重复全排列，所以共有

种排法。

（2）要求6台不同品牌洗衣机中某一台洗衣机摆在中间位置，必须依次经过两个步骤：第1个步骤是将这台洗衣机摆在中间位置中的一个位置，有2种方法；第2个步骤是将其余5台洗衣机摆在其他5个位置上，相当于从5个不同元素中每次取出5个不同元素的元素不重复全排列，有

种方法。根据乘法原理，有

=2×5!=2×5×4×3×2×1=2×120=240

种方法，即有240种排法。

例8 小赵、小钱、小孙、小李及小周五位青年坐成一排照相，问：

（1）若小赵与小钱相邻，有多少种排法？

（2）若小赵与小钱不相邻且他们之间只安排小李或小周，有多少种排法？

（3）若小赵与小钱不相邻且他们之间只安排小李与小周，有多少种排法？

（4）若小赵、小钱在小孙的同一侧，共有多少种排法？

解：（1）完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱相邻这件事情，必须依次经过两个步骤：第1个步骤是将相邻的小赵与小钱看成一个元素，他们与其他三位青年坐成一排，相当于从4个不同元素中每次取出4个不同元素的元素不重复全排列，有

种排法；第2个步骤是将相邻的小赵与小钱交换位置，有2种方法。根据乘法原理，完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱相邻这件事情，有

×2＝24×2＝48

种排法。

（2）完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李或小周这件事情，必须依次经过三个步骤：第1个步骤是将相邻的小赵、小李及小钱看成一个元素，他们与其他两位青年坐成一排，相当于从3个不同元素中每次取出3个不同元素的元素不重复全排列，有

种排法；第2个步骤是将不相邻的小赵与小钱交换位置，有2种方法；第3个步骤是将不相邻的小李与小周交换位置，有2种方法。根据乘法原理，完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李或小周这件事情，有

×2×2＝6×2×2＝24

种排法。

（3）完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李与小周这件事情，必须依次经过三个步骤：第1个步骤是将相邻的小赵、小李、小周及小钱看成一个元素，他们与小孙坐成一排，相当于从2个不同元素中每次取出2个不同元素的元素不重复全排列，有

种排法；第2个步骤是将不相邻的小赵与小钱交换位置，有2种方法；第3个步骤是将相邻的小李与小周交换位置，有2种方法。根据乘法原理，完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李与小周这件事情，有

×2×2＝2×2×2＝8

种排法。

（4）完成五位青年坐成一排照相且小赵、小钱在小孙的同一侧这件事情，共有三类方式：第1类方式是小赵与小钱相邻，有

×2＝48种排法；第2类方式是小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李或小周，有

×2×2＝24种排法；第3类方式是小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李与小周，有

×2×2＝8种排法。这三类方式是并列的，其中每一类方式的任一种排法都可以完成这件事情，根据加法原理，所以完成五位青年坐成一排照相且小赵、小钱在小孙的同一侧这件事情，共有

种排法。

3.元素可重复的排列

元素可重复包括元素重复与元素不重复两种情况，元素可重复的排列是指在排列中允许出现相同元素。

例9 北京市电话号码为八位，问电话局8461支局共有多少个电话号码？

解：由于8461支局的电话号码前四位为8461，因此只需确定后四位的数字，就组成8461支局电话号码。显然，在电话号码中允许出现相同数字。

组成8461支局的电话号码，必须依次经过四个步骤：第1个步骤是确定电话号码第五位上的数字，这时是从0至9这10个数字中取出1个数字放在这个位置上，有10种方法；第2个步骤是确定电话号码第六位上的数字，考虑到在电话号码中允许出现相同数字，这时也是从0至9这10个数字中取出1个数字放在这个位置上，有10种方法；第3个步骤是确定电话号码第七位上的数字，也有10种方法；第4个步骤是确定电话号码第八位上的数字，也有10种方法。因此这个问题相当于从10个不同元素中每次取出4个元素的元素可重复排列，根据乘法原理，共有

10×10×10×10=10000

种方法。由于一种方法对应一个电话号码，所以8461支局共有10000个电话号码。

定义0.2 从n个不同元素中，每次可以重复地取出m个元素排成一列，所有这样排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的元素可重复排列数。

如何计算从n个不同元素中取出m个元素的元素可重复排列数？从n个不同元素中取出m个元素排成一列，必须依次经过m个步骤：第1个步骤是确定排列第1位置上的元素，这时是从n个不同元素中取出1个元素放在这个位置上，有n种方法；第2个步骤是确定排列第2位置上的元素，由于在排列中允许出现相同元素，因而这时还是从n个不同元素中取出1个元素放在这个位置上，也有n种方法；…；第m个步骤是确定排列第m位置上的元素，由于在排列中允许出现相同元素，因而这时仍然是从n个不同元素中取出1个元素放在这个位置上，当然有n种方法。根据乘法原理，共有

种方法。由于一种方法对应一个排列，所以所有这样排列的个数等于n^m，即从n个不同元素中取出m个元素的元素可重复排列数等于n^m。

例10 邮政大厅有4个邮筒，现将三封信逐一投入邮筒，问共有多少种投法？

解：将三封信逐一投入邮筒，必须依次经过三个步骤：第1个步骤是将第一封信投入4个邮筒中的1个邮筒，有4种方法；第2个步骤是将第二封信投入4个邮筒中的1个邮筒，也有4种方法；第3个步骤是将第三封信投入4个邮筒中的1个邮筒，也有4种方法。若以邮筒作为元素，则这个问题相当于从4个不同元素中每次取出3个元素的元素可重复排列。根据乘法原理，共有

4×4×4=4³=64

种方法，即共有64种投法。

例11 用3个数字1，2，3组成三位数，问：

（1）可以组成多少个数字可重复的三位数？

（2）可以组成多少个数字一定重复的三位数？

解：（1）用3个数字1，2，3组成数字可重复的三位数，相当于从3个不同元素中每次取出3个元素的元素可重复排列，这样的排列共有3³个，所以可以组成

3³=27

个数字可重复的三位数。

（2）注意到用3个数字1，2，3组成的数字可重复的三位数包括两部分，一部分是数字不重复的三位数，这样的三位数有

个；另一部分则是数字一定重复的三位数。说明所求数字一定重复的三位数的个数等于数字可重复的三位数的个数减去数字不重复的三位数的个数，所以可以组成

个数字一定重复的三位数。

4.组合

例12 从10人中选举2名代表参加座谈会，问共有多少种选举结果？

解：这个问题同例6中选举正副组长各1名是不一样的，尽管都是选出2人，但在选举正副组长各1名时，这2人须排队，不妨规定排在前面的是正组长，排在后面的是副组长；而在选举2名代表时，这2人不需排队。

设从10人中选举2名代表共有x种选举结果。考虑从10人中选举正副组长各1名的排列问题，在例5中已经得到共有

种选举结果，还可以依次经过下面两个步骤解决这个问题：第1个步骤是从10人中选出2人，相当于从10人中选举2名代表，已设有x种方法；第2个步骤是当选的2人分工，相当于2人排队，有

种方法。根据乘法原理，共有

种方法，即共有

种选举结果。于是有关系式

所以从10人中选举2名代表共有45种选举结果。

这是容易理解的，如甲、乙当选，对于选举正副组长各1名，有两种选举结果；而对于选举2名代表，却只是一种选举结果。说明选举正副组长各1名的每两种选举结果对应选举2名代表的一种选举结果，由于选举正副组长各1名共有90种选举结果，所以选举2名代表当然共有45种选举结果。

定义0.3 从n个不同元素中，每次取出m（m≤n）个不同元素并成一组，所有这样组的个数称为组合数，记作

。

如何计算组合数

？考虑从n个不同元素中每次取出m（m≤n）个不同元素的排列问题，共有

种方法，还可以依次经过下面两个步骤解决这个问题：第1个步骤是从n个不同元素中取出m个不同元素并成一组，有

种方法；第2个步骤是取出的m个不同元素排成一列，有

种方法。根据乘法原理，共有

种方法。于是有关系式

例13 根据组合数的计算公式，有组合数

对于实际问题，必须正确判别是排列问题还是组合问题，关键在于要不要计较所取出元素的先后顺序，即要不要将所取出元素排队。若要排队，则是排列问题；若不要排队，则是组合问题。

例14 已知100件产品中有3件是次品，其余97件是合格品，问：若任意抽取3件产品中恰好有1件次品，有多少种取法？

解：从100件产品中任意抽取3件产品，并不计较所取产品的次序，从而这个问题是组合问题，从100件产品抽取3件产品中恰好有1件次品，意味着抽取3件产品中有1件次品与2件合格品。完成这件事情必须依次经过两个步骤：第1个步骤是从3件次品中取到1件次品，有

种取法；第2个步骤是从97件合格品中取到2件合格品，有

种取法。根据乘法原理，所以任意抽取3件产品中恰好有1件次品，有

种取法。

例15 7支足球队进行比赛，问：

（1）若采用主客场赛制，共有多少场比赛？

（2）若采用单循环赛制，共有多少场比赛？

解：（1）采用主客场赛制意味着每两支球队之间进行两场比赛，比赛双方各有一个主场。这时从7支球队中每次挑选2支球队进行比赛，要计较所挑选球队的顺序，即需要将它们排队，不妨规定排在前面的球队是在主场比赛，因此这个问题是排列问题。由于一个排列对应一场比赛，所以共有

场比赛。

（2）采用单循环赛制意味着每两支球队之间只进行一场比赛。这时从7支球队中每次挑选2支球队进行比赛，不计较所挑选球队的顺序，即不需要将它们排队，因此这个问题是组合问题。由于一个组合对应一场比赛，所以共有

场比赛。

例16 书桌上有11本不同的书，问：

（1）从中任取3本书，共有多少种取法？

（2）从中任取3本书分给甲、乙、丙三个人，每人一本，共有多少种分法？

解：（1）由于从11本不同的书中任取3本书，并不计较所取出书的先后顺序，即不需要将它们排队，因此这个问题是组合问题。由于一个组合对应一种取法，所以共有

种取法。

（2）由于从11本不同的书中任取3本书分给甲、乙、丙三个人，每人一本，相当于从11本不同的书中任取3本不同的书排队，不妨规定排在前面、中间、后面位置的书分别分给甲、乙、丙，因此这个问题是排列问题。由于一个排列对应一种分法，所以共有

种分法。

例17 口袋里装有5个黑球与4个白球，任取4个球，问：

（1）共有多少种取法？

（2）其中恰好有1个黑球，有多少种取法？

（3）其中至少有3个黑球，有多少种取法？

（4）其中至多有1个黑球，有多少种取法？

解：由于在取球时不计较所取出球的先后顺序，即不需要将它们排队，因此这个问题是组合问题。

（1）从9个球中任取4个球，共有

种取法。

（2）任取4个球中恰好有1个黑球，意味着所取4个球中有1个黑球与3个白球，完成这件事情必须依次经过两个步骤：第1个步骤是从5个黑球中取出1个黑球，有

种取法；第2个步骤是从4个白球中取出3个白球，有

种取法。根据乘法原理，有

种取法。

（3）任取4个球中至少有3个黑球，包括恰好有3个黑球与恰好有4个黑球两类情况，完成这件事情有两类方式：第1类方式是任取4个球中恰好有3个黑球，即所取4个球中有3个黑球与1个白球，有

种取法；第2类方式是任取4个球中恰好有4个黑球，即所取4个球中有4个黑球与0个白球，有

种取法。根据加法原理，有

种取法。

（4）任取4个球中至多有1个黑球，包括恰好有1个黑球与没有黑球两类情况，完成这件事情有两类方式：第1类方式是任取4个球中恰好有1个黑球，即所取4个球中有1个黑球与3个白球，有

种取法；第2类方式是任取4个球中没有黑球，即所取4个球中有0个黑球与4个白球，有

种取法。根据加法原理，有

种取法。

例18 从3名男生、4名女生中任意挑选4名学生参加座谈会，问：

（1）共有多少种选法？

（2）其中至少有1名男生，有多少种选法？

解：由于在挑选学生时不计较所挑选学生的先后顺序，即不需要将它们排队，因此这个问题是组合问题。

（1）从7名学生中任意挑选4名学生，共有

种选法。

（2）任意挑选4名学生中至少有1名男生，包括恰好有1名男生、恰好有2名男生及恰好有3名男生三类情况，完成这件事情有三类方式：第1类方式是任意挑选4名学生中恰好有1名男生，即所挑选4名学生中有1名男生与3名女生，有

种选法；第2类方式是任意挑选4名学生中恰好有2名男生，即所挑选4名学生中有2名男生与2名女生，有

种选法；第3类方式是任意挑选4名学生中恰好有3名男生，即所挑选4名学生中有3名男生与1名女生，有

种选法。根据加法原理，有

种选法。

此题尚有简便解法：注意到符合要求即任意挑选4名学生中至少有1名男生包括三类情况，由于包括情况比较多，从而直接计算其选法比较麻烦，而不符合要求意味着挑选4名学生中没有男生，即所挑选4名学生中有0名男生与4名女生，只包括一类情况，有

种选法，计算其选法当然比较简单。显然，符合要求的选法种数等于总选法种数减去不符合要求的选法种数，所以任意挑选4名学生中至少有1名男生，有

种选法。

例18说明：若符合要求的情况比较多，从而直接计算符合要求的方法种数比较麻烦，这时不符合要求的情况一定比较少，计算不符合要求的方法种数当然比较简单，于是应该首先计算总方法种数与不符合要求的方法种数，然后总方法种数减去不符合要求的方法种数，就得到所求符合要求的方法种数。