为什么正二十面体是最多的?为什么正多面体最多只能是正二十面体
所谓正多面体,是指多面体的各个面都是全等的正多边形,并且各个多面角都是全等的多面角。
例如下图
有朋友可能就会问:为什么没有正二十一面体、正五面体呢等等。
首先这个问题最先是被瑞士数学家欧拉所解决。
莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler,1707年4月15日~1783年9月18日),瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔,1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭,自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家,平均每年写出八百多页的论文,还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本,《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典着作。
欧拉渊博的知识,无穷无尽的创作精力和空前丰富的着作,都是令人惊叹不已的!他从19岁开始发表论文,直到76岁,半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文.到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字,从初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,复变函数的欧拉公式等等,数也数不清。
其中他的成就之一欧拉定理便是解决多面体问题的一把黄金钥匙。
欧拉定理简单来说就是在一凸多面体中,顶点数-棱边数 面数=2
因为本人并非数学专业人才,所以接下来的推理过程来自网站。如有冒犯还请周知。
多面体的每个面是正n边行,每个顶点是m条棱,于是,棱数E应是F(面数)与n的积的一半,即
Nf=2E--------------1式
同时,E应是V(顶点数)与M的积的一半,即
mV=2E--------------2式
由1式、2式,得
F=2E/n,V=2E/m,
代入欧拉公式
V F-E=2,
有
2E/m 2E/n-E=2
整理后,得1/m 1/n=1/2 1/E.
由于E是正整数,所以1/E0。因此
1/m 1/n1/2--------------3式
3式说明m,n不能同是大于3,否则3式不成立。另一方面,由于m和n的意义(正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数)知,m=3且n=3。因此m和n至少有一个等于3
当m=3时,因为1/n1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5
同理n=3,m也只能是3,4,5
所以
nm类型
33正四面体
43正六面体
34正八面体
53正十二面体
35正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种。
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