圆的标准方程x-a²+y-b²=r²中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定。今天,小编为大家整理了,欢迎阅读。
高考数学圆的方程练习题
1.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是________.
[解析]设圆心Ca,ba>0,b>0,由题意得b=1.
又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1,
解得a=2或a=-舍.
所以该圆的标准方程为x-22+y-12=1.
[答案]x-22+y-12=1
2.2014·南京质检已知点P2,1在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则圆C的圆心坐标为________.
[解析]因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上,
该直线过圆心,即圆心满足方程x+y-1=0,
因此-+1-1=0,解得a=0,所以圆心坐标为0,1.
[答案]0,1
3.已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P3,-2,则该圆的方程是________.
[解析]过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为1,-4.
半径r=2,所求圆的方程为x-12+y+42=8.
[答案]x-12+y+42=8
4.2014·江苏常州模拟已知实数x,y满足x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y|的最小值为________.
[解析]x2+y2-4x+6y+12=0配方得x-22+y+32=1,令x=2+cos α,
y=-3+sin α,则|2x-y|=|4+2cos α+3-sin α|
=|7-sin α-φ|≥7-tan φ=2.
[答案]7-
5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0a>0,b>0对称,则+的最小值是________.
[解析]由圆的对称性可得,直线2ax-by+8=0必过圆心-2,4,所以a+b=2.所以+=+=++5≥2+5=9,由=,则a2=4b2,又由a+b=2,故当且仅当a=,b=时取等号.
[答案]9
6.2014·南京市、盐城市高三模拟在平面直角坐标系xOy中,若圆x2+y-12=4上存在A,B两点关于点P1,2成中心对称,则直线AB的方程为________.
[解析]由题意得圆心与P点连线垂直于AB,所以kOP==1,kAB=-1,
而直线AB过P点,所以直线AB的方程为y-2=-x-1,即x+y-3=0.
[答案]x+y-3=0
7.2014·泰州质检若a,且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a=________.
[解析]要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a2+2a2-42a2+a-1>0,解得-20关于直线x+y+2=0对称.
1求圆C的方程;
2设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
[解]1设圆心Ca,b,
由题意得解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,
将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
2设Qx,y,则x2+y2=2,
·=x-1,y-1·x+2,y+2
=x2+y2+x+y-4=x+y-2.
令x=cos θ,y=sin θ,
·=x+y-2=sin θ+cos θ-2
=2sin-2,
所以·的最小值为-4.
10.已知圆的圆心为坐标原点,且经过点-1,.
1求圆的方程;
2若直线l1:x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点,求b的值;
3求直线l2:x-y+2=0被此圆截得的弦长.
[解]1已知圆心为0,0,半径r==2,所以圆的方程为x2+y2=4.
2由已知得l1与圆相切,则圆心0,0到l1的距离等于半径2,即=2,解得b=±4.
3l2与圆x2+y2=4相交,圆心0,0到l2的距离d==,所截弦长l=2=2=2.
曲线与方程练习题
1.2014·徐州调研若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k=________.
[解析]由消y得k2x2-4k+2x+4=0,由题意得Δ=[-4k+2]2-4k2×4=641+k>0解得k>-1,且x1+x2==4解得k=-1或k=2,故k=2.
[答案]2
2.点P是圆x-42+y-12=4上的动点,O是坐标原点,则线段OP的中点Q的轨迹方程是________.
[解析]设Px0,y0,Qx,y,则x=,y=,x0=2x,y0=2y,x0,y0是圆上的动点,
x0-42+y0-12=4.2x-42+2y-12=4.即x-22+2=1.
[答案]x-22+2=1
3.2014·宿迁质检设抛物线的顶点在原点,其焦点F在x轴上,抛物线上的点P2,k与点F的距离为3,则抛物线方程为________.
[解析]xP=2>0,设抛物线方程为y2=2px,则|PF|=2+=3,=1,p=2.
[答案]y2=4x
4.动点P到两坐标轴的距离之和等于2,则点P的轨迹所围成的图形面积是________.
[解析]设Px,y,则|x|+|y|=2.它的图形是一个以2为边长的正方形,故S=22=8.
[答案]8
5.已知动圆过定点A4,0,且在y轴上截得弦MN的长为8.则求动圆圆心的轨迹C的方程为________.
[解析]如图,设动圆圆心为O1x,y,由题意,|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点.
|O1M|=,
又|O1A|=,
= ,
化简得y2=8xx≠0.
当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标0,0
也满足方程y2=8x,
动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
[答案]y2=8x
图883
6.2014·盐城调研如图883所示,已知C为圆x+2+y2=4的圆心,点A,0,P是圆上的动点,点Q在直线CP上,且·=0,=2.当点P在圆上运动时,则点Q的轨迹方程为________.
[解析]圆x+2+y2=4的圆心为C-,0,半径r=2,·=0,=2,MQ⊥AP,点M是线段AP的中点,即MQ是AP的中垂线,连接AQ,则|AQ|=|QP|,
||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2,
又|AC|=2>2,根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以C-,0,A,0为焦点,实轴长为2的双曲线,由c=,a=1,得b2=1,因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.
[答案]x2-y2=1
7.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,经过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过A、B两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M.则点M的轨迹方程为________.
[解析]设Mx,y,A,B,显然x1≠x2,由x2=4y,得y=x2,y′=x,于是过A、B两点的切线方程分别为y-=x-x1,即y=x-,y-=x-x2,即y=x-,由解得,设直线l的方程为y=kx+1,由,得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,代入得,即M2k,-1,故点M的轨迹方程是y=-1.
[答案]y=-1
8.2014·江苏泰州中学期末若椭圆C1:+=1a1>b1>0和C2:+=1a2>b2>0是焦点相同且a1>a2的两个椭圆,有以下几个命题:C1,C2一定没有公共点;>;a-a=b-b;a1-a2a2,所以b1>b2,C1,C2一定没有公共点;因为a1>a2,b1>b2,所以>不一定成立;由a-b=a-b得a-a=b-b;由a-a=b-b得a1-a2a1+a2=b1-b2b1+b2,因为a1+a2>b1+b2,所以a1-a2b>0所围成的封闭图形的面积为4,曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.
1求椭圆C2的标准方程;
2设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线M是l上的点与O不重合.
若|MO|=2|OA|,当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程;
若M是l与椭圆C2的交点,求AMB面积的最小值.
[解]1由题意得又a>b>0,解得a2=8,b2=1,因此所求椭圆的标准方程为+y2=1.
2设Mx,y,Am,n,则由题设知||=2||,·=0,
即解得
因为点Am,n在椭圆C2上,所以+n2=1.
即+x2=1,亦即+=1,
所以点M的轨迹方程为+=1.
设Mx,y,则Aλy,-λxλR,λ≠0,
因为点A在椭圆C2上,所以λ2y2+8x2=8,
即y2+8x2=,
又x2+8y2=8,
ⅰ+得x2+y2=,
所以SAMB=OM·OA=|λ|x2+y2=·≥.
当且仅当λ=±1时,SAMBmin=.