电路分析第一章笔记，工科电路分析，第2

2.1 支路电流法2.1.1 KCL 和 KVL 方程的独立性

一般来说，对于有n个节点的电路图，其独立的 KCL 方程为（n-1）个，这些节点称为独立节点。

以上方程组中，每一支路电流都出现两次，一次为正，一次为负。因此，将其中任意三个方程相加，就可以得到第 4 个方程。这就是说，4 个 KCL 方程中只有 3 个是互相独立的。

再来研究 KVL 方程的独立性。

一般来说，若电路图中有n个节点和b条支路，则独立的 KVL 方程数为l=b-n 1 个。而平面电路（即画在平面上的电路中，除了节点外，再没有任何支路互相交叉）的网孔数恰好等于（b-n 1）个，所以网孔都是独立回路。

为了求解电路的各支路电流和电压，除了上述 KCL 和 KVL 方程外，还需按关联参考方向列出各支路的支路方程（VCR），即

归纳起来，对于有n个节点和b条支路的电路，一定有（n-1）个独立的 KCL 方程，（b-n 1）个独立的 KVL 方程，还有b个独立的 VCR 方程。联立求解这 2b个方程，可得各支路电流和电压。这就是所谓的 2b方程法。

以电路中各支路电流为独立求解变量的解题方法称为支路电流法。观察式（2-2）和式（2-3），如果将各支路的 VCR 关系代入式（2-2）中，就可得到以支路电流表示的 KVL 方程，它们再和独立的 KCL 方程联立求解，总共只有b个方程，从而简化了分析。

若把流过同一电流的串联元件作为一条支路，在图 2-2 中共有三条支路和两个节点。若选 b 为参考点，则对节点 a 有一个独立的 KCL 方程，即

- i 1 i 2 i 3 =0

选网孔为独立回路，并按 l 1 和 l 2 的巡行方向可列两个独立的 KVL 方程，即

- u S1 R 1 i 1 R 3 i 3 =0

- R 3 i 3 R 2 i 2 u S2 =0

由此可得出支路电流法的一般步骤：

（1）假设各支路电流的参考方向和网孔的巡行方向。

（2）对（ n -1）个节点列 KCL 方程，对（ b - n 1）个网孔列写以电流变量表示的 KVL 方程。

（3）求解各支路电流，进而求出其他所需量。

网孔分析法的步骤如下：

（1）选定一组网孔，并假设各网孔电流的参考方向。

（2）以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，按式（2-9）的形式列写各网孔的 KVL 方程。

（3）由网孔方程解出网孔电流。原电路非公共支路的电流就等于网孔电流，公共支路的电流等于网孔电流的代数和。

在图 2-3（b）中，除节点 d 外，可列出三个互相独立的 KCL 方程为

对图示的三个网孔，结合欧姆定律可列出三个独立的 KVL 方程为

从原理上讲，要求解该电路的六个支路电流，只要联立式（2-5）和式（2-6）六个相互独立的方程就可以全部解出。这种利用独立的 KCL 和 KVL 方程联立求解支路电流的方法即为前述的支路电流法。不过在电路较复杂时，方程很多，求解不便，故这里进一步研究新方法。

由图 2-3（b）可知，各公共支路的电流可以分别用非公共支路的电流表示为

将它们代入式（2-6）中，得

合并整理，可得到以各网孔非公共支路电流为未知量的三个独立的 KVL 方程为

式中，R11、R22和R33分别称为网孔 l1、l2和 l3的自电阻，恒取正，它们分别为各网孔所有电阻之和；其余系数R12、R21、R31等为各网孔公共支路的电阻，称互电阻。

因为互电阻上的电压有正、负之分，而式（2-8）中均写为正值，故可把负号引入到互电阻中。当互电阻上两网孔电流方向相反时，互电阻取负；方向相同时，互电阻取正。

这里研究在公共支路含有电流源的情况。如图 2-5 所示，试求网孔电流 i 1 、 i 2 和 i 3 。

图 2-5 例 2-2 图

解 本例中公共支路含有 1 个 7A 电流源，处理这类问题的方法之一就是先假设该电流源两端的电压 u， 然后用前述网孔分析法列方程即可。由图 2-5 得网孔方程

将式（2-10）中第一式和第三式相加消去 u， 再和余下的两式联立，即

求解这一联立方程组，得网孔电流 i 1 =9 A， i 2 =2.5 A， i 3 =2 A。

例 2-3 本例是含有受控源的情况。如图 2-6 所示电路，利用网孔分析法求电压 u 。

图 2-6 例 2-3 图

解 本例中含有受控源（VCCS），处理方法是：先将受控源看成独立电源。这样，该电路就有两个电流源，且都处于非公共支路。处理这样的电流源并不需要像上例中假设电压的方法。因为网孔电流就是非公共支路电流，它们是已知量，所以就不必再列它们所在的网孔方程了。如图 2-6 中所标网孔方向，可知 i 1 =0.1 u，i 3 =4 A，对网孔 2 列方程为

26 i 2 -2 i 1 -20 i 3 =12

其中

可以解得 i 2 =3.6 A， u =8 V。

以上分析所用的网孔也称为回路，网孔电流法也称为回路电流法。在应用网孔（回路）分析法时，若非公共支路有电流源时，把它作为网孔电流（已知量）可以减少方程数。若公共支路有电流源时，只要增设电流源两端的电压（未知量），再设法消去之，即可列出网孔方程求解。

节点分析法的一般步骤是：

（1）首先将电路中所有电压型电源转换为电流型电源。

（2）在电路中选择一合适的参考点，以其余独立节点电压为待求量（有的可能已知）。

（3）列出所有未知节点电压的节点方程，其中自电导恒为正，互电导恒为负。

（4）联立求解节点电压，继而求出其余量。

如图 2-7 所示电路，设节点 d 为参考点，节点 a、b 和 c 的电压（即相对于参考点的电位）分别记为 u 1 、 u 2 和 u 3 ，根据 KCL，该电路有三个独立的电流方程：

图 2-7 节点分析法用图

节点 a：i 1 i 2 i 5 - i S1 i S3 =0

节点 b：i 3 i 4 - i 2 =0

节点 c：- i 4 - i 5 - i S2 =0

再由欧姆定律，各支路电流可表示为

代入上述 KCL 方程，合并整理后得

写成矩阵形式为

这样就得到了以独立的节点电压为未知量的节点方程。当从方程求得节点电压后，再回到原图利用欧姆定律就可以求出各支路电流。这种分析方法就是所谓的节点分析法，或称节点电压法。

将式（2-11）写成一般形式为

对照式（2-11），可以看出节点方程有以下的规律性：

（1） G 11 = G 1 G 2 G 5 ，是连于节点 a 的所有电导之和。

（2） G 22 = G 2 G 3 G 4 ，是连于节点 b 的所有电导之和。

（3） G 33 = G 4 G 5 ，是连于节点 c 的所有电导之和。

（4） G 11 、 G 22 和 G 33 称为自电导，恒取正。其余元素是独立节点间的公共电导，称互电导。只要两节点间（除参考点外）有公共电导，则互电导恒取负。

方程右端（∑ i S ） a 、（∑ i S ） b 和（∑ i S ） c 分别为流入节点 a、b 和 c 的电流源代数和，流入取正，流出取负。

例 2-4 本例研究含有受控源的情况。如图 2-8（a）所示电路，利用节点分析法求 i 1 和 i 2 。

解 本例有一个电流控制电流源，首先把它看成独立源，并把电压型电源变换为电流型电源，如图 2-8（b）所示。设独立节点电压为 u 1 和 u 2 ，则可列节点

方程组为

再将控制量用节点电压表示，即

i 1 =9- u 1

从而得到

解得 u 1 =8 V， u 2 =4 V。最后得电流 i 1 =1 A， i 2 =2 A。

例 2-5 本例研究在独立节点间含有理想电压源的情况。如图 2-9 所示电路，试用节点电压法求电流 i 。

解 本例含有两个理想电压源，巧妙地选择参考点可以使分析简化。由图可知，若选 D 为参考点，则电位 u A =1 V 为已知量。由于 B、C 间有一电压源，在列节点方程时遇到困难。考虑到节点方程的本质是对各节点的 KCL 方程，可以假设 5 V 电源支路有电流 i 1 流过，并把 i 1 看成电流源，从而可列方程

节点 B：

节点 C：

u B - u C =5

前二式相加消去 i 1 ，再与第三式联立，即

将 u A =1 V 代入，解得 u B =2.4 V， u C =-2.6 V。

最后得