圆与直角三角形结合的题目 两条弦,含直径相互垂直的圆相关几何题
在圆中两条弦(或弦与直径)相互垂直,如果将其端点连接,则可形成对角线相互垂直的圆内接四边形,故将这类题目归入“对角线相互垂直的四边形”合集。
题目1:如图1,在圆O中,AB是直径,CD是弦,且AB⊥CD,点E为弧BD上一动点,连接CE、BE、DE,并延长DE至F。求证:BE平分∠CEF。
解题思路(1):设AB、CD相交于点P,连接CA、CB(图2),则∠ACB=90°。
在Rt△ACB和Rt△CPB中,易证∠CAB=∠PCB=α;
根据同弦对等角,∠CAB=∠CEB=α。
在圆内接四边形CDEB中,∠DCB ∠DEB=180°;
而∠DEB ∠FEB=180°,则
∠FEB=∠DCB=∠CAB=∠CEB =α
故∠CEB =∠FEB,BE平分∠CEF成立。
解题思路(2):见图3。
题目2:如图1,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连接AC,过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE。求证:(1)△ECF∽△GCE;(2)GE是圆O的切线。
解题思路:连接AD(图2),因直径AB⊥CD,则AB是CD的垂直平分线,∠ACD=∠ADC;
又因EG∥AC,则∠EGC=∠ACD=∠ADC=α;
根据同弦对等角,∠CEA=∠CDA =∠EGC= =α。
△ECF∽△GCE得证。
连接OE(图3),OE=OA,∠OEA=∠OAE=θ;
已知EG=FG,则∠GEF=∠GFE=∠AFH=α。
在Rt△AHF中,∠OAE ∠AFH=θ α=90°,
∠OEG=∠OEA ∠GEF=θ α=90°,
则OE⊥EG,故GE是圆O的切线。
题目3:如图1,在圆O中,AB是直径,CD是弦,且AB⊥CD,点E为弧BC上一动点,连接CE、DE,过点B作BF⊥DE于F,试判断DF、EF和CE的数量关系,并说明理由。
解题思路:本题实际上证明的是阿基米德折弦定理:图1中,直径AB⊥CD,点B为弧CBD的中点,过点B作长弦DE的垂线,垂足为F,正好符合阿基米德折弦定理情形。
(1)垂线法:过点B作CE延长线的垂线BG,连接BE、BC、BD(图2),因直径AB⊥CD,四边形ABCD为轴对称图形,BC=BD,∠BDC=∠BCD =∠BED;
因∠GEB=∠BDC,则∠BED=∠GEB,
易证Rt△FBE≌Rt△GBE,EF=EG,BG=BF。
易证Rt△DFB≌Rt△CGB,DF=CG=CE EG=CE EF
故DF= CE EF,即点F为折弦CED的中点。
(2)截长法:见图3。
题目4:如图1,在圆O中,AB是直径,CD是弦,且AB⊥CD于H,H为OA中点,点F是弧AC上一动点,AF交OC的延长线于G,CO的延长线交圆O于E,EF交AB于P。求证OG=OE OP。
解题思路:已知直径AB⊥CD于H,H为OA中点,连接AC,则AC=OC=OA=OE,△AOC 为等边三角形(图2)。
在△ACG和△EOP中,∠GAC=∠FEC=α,
∠GCA=∠POE=120°,AC=OE,
则△ACG≌△EOP,GC=OP。
OG=OC GC=OE OP成立。
题目5:如图1,在圆O中,AB、CD是相互垂直的直径,点E是弧AD上一动点,连接BE、AE、CE。求证:AE BE=√2 CE。
解题思路:
解法1:连接CA、CB(图2),因AB 、CD是相互垂直的直径,∠ACB为等腰RT△,设CA=CB=m,AB=√2 m。根据托勒密定理有:
AE·CB BE·CA=CE·AB,即
mAE mBE=√2 m CE,简化之,
AE BE=√2 CE得证。
解法2:过点C作CE的垂线交EB延长线于F(图3),
易证Rt△ECF为等腰Rt△,EF=√2EC=√2FC。
易证△AEC≌△BFC,AE=BF。
EF=EB BF=EB AE=√2EC,
AE BE=√2 CE成立。
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