mse 交叉熵分类回归：交叉熵损失，Cross-entropy和平方损失

作者丨苏学算法

来源丨苏学算法

1. 均方差损失函数（MSE） 简单来说，均方误差（MSE）的含义是求一个batch中n个样本的n个输出与期望输出的差的平方的平均值、

2. Cross-entropy（交叉熵损失函数) 交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况。 它刻画的是实际输出（概率）与期望输出（概率）的距离，也就是交叉熵的值越小，两个概率分布就越接近。

比如对于一个神经元（单输入单输出，sigmoid函数）,定义其代价函数为:

其中是损失，是我们期望的输出（真实值 target），为神经元的实际输出（输出值）,在训练神经网络过程中，我们通过梯度下降算法来更新和，因此需要计算损失函数对和的导数：

（其中和都是已知量，因为网络输入都是以）形式输入的，所以上式直接的 “≈” 把和略去了）而后更新和：

因为sigmoid函数的性质，如图的两端，几近于平坦，导致在取大部分值时会很小，这样会使得和更新非常慢（因为）。

再定量解释如下： 在上式

a) 当真实值若 输出值，则

若 输出值，则

b) 当真实值, 若 输出值，则

若 输出值，则也就是平方损失（MSE）的梯度更新很慢，如下图所示

这就带来实际操作的问题。当梯度很小的时候，应该减小步长（否则容易在最优解附近产生来回震荡），但是如果采用 MSE ，当梯度很小的时候，无法知道是离目标很远还是已经在目标附近了。（离目标很近和离目标很远，其梯度都很小）

为了克服上述 MSE 不足，引入了categorical_crossentropy（交叉熵损失函数）

1）二分类 Binary Cross-entropy

激活函数为 sigmoid

损失函数：

或者简写成：

其中，表示样本数量。

同样求导可得：

证明如下：

其中，

因此，的梯度公式中原来的被消掉了，所以导数中没有这一项，权重的更新是受这一项影响（表示真实值和输出值之间的误差），即受误差的影响，所以当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。

2）多分类 Categorican Cross-entropy

激活函数为 softmax

可以看作是Sigmoid的一般情况，用于多分类问题。

损失函数：

后续分析类似。

sigmoid(softmax) cross-entropy loss 擅长于学习类间的信息，因为它采用了类间竞争机制，它只关心对于正确标签预测概率的准确性，忽略了其他非正确标签的差异，导致学习到的特征比较散。基于这个问题的优化有很多，比如对softmax进行改进，如L-Softmax、SM-Softmax、AM-Softmax等。这些在本篇不展开讨论。

我们从最简单的线性回归开始讨论： 线性回归（回归问题）使用的是平方损失：

因为这个函数是凸函数，直接求导等于零，即可求出解析解，很简单。但是对于逻辑回归则不行（分类问题）【注意：逻辑回归不是回归！是分类！！】。因为如果逻辑回归也用平方损失作为损失函数，则：

其中表示样本数量。 上式是非凸的，不能直接求解析解，而且不宜优化，易陷入局部最优解，即使使用梯度下降也很难得到全局最优解。如下图所示：

2.Cross-entropy

而，Cross-entropy 计算 loss，则依旧是一个凸优化问题。

以下进行详细说明和推导：

逻辑回归模型进行学习时，给定训练集：，其中，可以应用 极大似然估计 估计模型参数，从而得到逻辑回归模型。

设：

似然函数：

对数似然函数为：

接下来求的极大值，从而得到的估计值。

这样一来，问题就变成了以对数似然函数为目标函数的最优化问题，逻辑回归 中通常的方法就是梯度下降法和拟牛顿法。

极大似然函数是求极大，取个相反数，再对所有个样本取平均，即得到逻辑回归的损失函数：

并且这个损失函数是凸函数，没有局部最优解，便于优化。

以下是直观理解：

其中：

当类别标签为时，越靠近 1 则损失越小；当类别标签为时，越靠近 1 则损失越大.

1. 分类问题，都用 one-hot Cross-entropy
2. training 过程中，分类问题用 Cross-entropy，回归问题用 mean squared error。
3. training 之后，validation / testing 时，使用 classification error，更直观，而且是我们最关注的指标。（分类错误数量 / 总数） 即：classification error

参考链接

1. 《李宏毅机器学习》课程中 逻辑回归 一节，: 李宏毅机器笔记 Logistic Regression（解释 LR 为什么不能用 square error ）.
2. 解析损失函数之categorical_crossentropy loss与 Hinge loss.
3. 神经网络的分类模型 LOSS 函数为什么要用 CROSS ENTROPY.
4. 交叉熵损失函数.