免费高考数学必背知识点导数：高三数学知识点-导数

1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y=f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0有增量∆x，则函数值y引起相应的增量∆y=f(x0 ∆x)-f(x0)；比值∆y/∆x=[f(x0 ∆x)-f(x0)]/∆x称为函数y=f(x)在点x0到x0 ∆x之间的平均变化率；如果极限

存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y=f(x)在x0处的导数，记作f´(x0)或y´|x=x0，即f´(x0)=

.

注：①∆x是增量，我们也称为“改变量”，因为∆x可正，可负，但不为零.

②以知函数y=f(x)定义域为A，y=f'(x)的定义域为B，则A与B关系为包含且等于.

2. 函数y=f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数y=f(x)在点x0处连续是y=f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果y=f(x)在点x0处可导，那么y=f(x)点x0处连续.

事实上，令x=x0 ∆x,则x→x0相当于∆x→0.

于是

⑵如果y=f(x)点x0处连续，那么y=f(x)在点x0处可导，是不成立的.

例：f(x)=|x|在点x0=0处连续，但在点x0=0处不可导，因为∆y/∆x=|∆x|/∆x，当∆x＞0时，∆y/∆x=1；当∆x＜0时，∆y/∆x=-1，故

不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x)(x-x0).

4. 求导数的四则运算法则：

(u±v)'=u'±v'=>y=f₁(x) f₂(x) ... fn(x)=>y'=f'₁(x) f'₂(x) ... f'n(x)

(uv)'=vu' v'u=>(cv)'=c'v cv'=cv'(c为常数）

(u/v)'=(vu'-v'u)/v²(v≠0)

注：①u,v须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设f(x)=2sinx 2/x，g(x)=cosx-2/x，则f(x),g(x)在x=0处均不可导，但它们和f(x) g(x)=sinx cosx在x=0处均可导.

5. 复合函数的求导法则：f'x(φ(x))=f'(u)φ'(x)或y'x=y'u·u'x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则y=f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y=f(x)为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数y=f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则y=f(x)为常数.

注：①f(x)>0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y=2x³在(-∞, ∞)上并不是都有f(x)>0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)<0是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点x0是可导函数f(x)极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数y=f(x)=x³，x=0使f'(x)=0，但x=0不是极值点.

②例如：函数y=f(x)=|x|，在点x=0不可导，但点x=0是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.

9. 几种常见的函数导数：

I.C'=0（C为常数） (sinx)'=cosx (arcsinx)'=1/√(1-x²)

(xⁿ)'=nx(n-1)次方（n∈R） (cosx)'=-sinx (arccosx)'=-1/√(1-x²)

II. (ln x)'=1/x (log a x)'=1/xlogae (arctanx)'=1/(x² 1)

（e的x次方)'= e的x次方 (a的x次方)'=a的x次方lna (arc cotx)'=-1/(x² 1)

III. 求导的常见方法：

①常用结论：(ln|x|)'=1/x.

②形如y=(x-a₁)(x-a₂)...(x-an)或y=(x-a₁)(x-a₂)...(x-an)/(x-b₁)(x-b₂)...(x-bn)两边同取自然对数，可转化求代数和形式.

③无理函数或形如y=x的x次方这类函数，如y=x的x次方取自然对数之后可变形为y=lnx，对两边求导可得y/y=lnx x*1/x=>y'=ylnx y=>y'=x的x次方lnx x的x次方.

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