张量计算图讲解：坐标与坐标转换和张量的分量转换规律

四、坐标与坐标转换

在笛卡尔坐标系内（单位直角坐标系），如下图：

坐标变化时，矢径的变化为：

即变化量在每个坐标的投影和

对于任意坐标系：

坐标变化时，矢径的变化为：

概念：

基矢量：矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi。

参考架：空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点的参考架分解：u=uigi。

对笛卡尔坐标系：

三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基。

欧式空间中的一般坐标系。

1.坐标线可能不再正交；

2.不同点处的坐标线可能不再平行；

3.基矢量的大小和方向都可能随点而异；

4.各点处的参考架不再是正交标准化基。

坐标转换

将新基ei'对老基ej分解：

转换系数：

反之：

向新坐标轴i'投影，即用ei'点乘上式两边，则：

左边

右边

由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式为：

坐标转换的一般定义

设在三维欧式空间中任选两个新、老坐标系，xi'和xj是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组：

（式一）

定义了由老坐标到新坐标的坐标变换，称正变换，其逆变换为：

对式一微分得：

其系数行列式（雅可比行列式）

处处不为零，在存在相应的逆变换，即可反过来用dx'i唯一确定dxj。应注意以下几点：

容许转换：由单值、一阶偏导数连续、且J处处不为零的转换函数所实现的坐标转换。

正常转换：J处处为正，把右手系转换右手系。

反常转换：J处处为负，把右手系转换成左手系。

五、张量的分量转换规律

张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切相关。所以张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律才能保证其坐标不变性。

标量分量转换规律：设一个标量在新、老坐标系中的值为t'和t，则t'=t。

矢量分量转换规律：

注意：如果一个矢量或一阶张量如果不满足此转换式，则它就不是矢量或一阶张量。比如矢径。矢径还包含了坐标系平移的转换项。

同样对于二阶张量T

即：

依此类推：高阶张量的分量满足如下转换规律。

张量方程：每项都由张量组成的方程称为张量方程。如：

特性：具有与坐标选择无关的重要性质，可用于描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。