课 时 授 课 计 划
课次序号： 07
一、课 题：§ 1.8 函数的连续性与间断点
二、课 型：新授课
三、目的要求：1.理解函数在一点连续、左右连续及区间上连续的概念；
2.会判定函数间断点的类型；
四、教学重点：连续的概念与间断点类型的判定.
教学难点：间断点类型的判定.
五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．
六、参考资料：1.《高等数学附册 学习辅导与习题选解》，同济大学数学系编，高等教育出版社；
2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．
七、作业：标准化作业 八、授课记录：
授课日期 班 次 九、授课效果分析：
十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等） 1.复习 （约5min）
极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则； 两个重要极限的应用；
无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k阶； 等价无穷小替换求极限的方法.
2.导入课题
在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一类重要特性，如运动着的质点，其位移s是时间t的函数，时间产生微小改变时，质点也将移动微小的距离（从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特性称为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间断.
3.教学内容
§1.8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 （约45min）
1. 增量 变量x从初值x1变到终值x2，终值与初值的差叫变量x记作?x，
即?x＝x1－x2.（增量可正可负）.
一般地，当自变量从x0变到x，称?x?x?x0叫自变量x对于函数y?fx，而?y?fx?x0?fx0叫函数y若保持x0不变而让?x变动，一般来说，函数y的增量?y也要变动，若当?x趋于零时，
?y也趋于零，即lim?y?0，此时就称函数y?fx在x0连.
?x?0
2. 函数在一点处连续
定义1 设函数y＝fx在Ux0有定义，如果lim?y?0，则称函数y＝fx在
?x?0
o
点x0处连续.
定义２ 设函数y＝fx在Ux0有定义，如果limfx?fx0，则称函数y＝
x?x0
o
fx在点x0处连续.
注 ① 上述两个定义在本质上是一致的，即函数fx在点x0连续，必须同时满足下
列三个条件：（I）fx在点x0有定义，（II）limfx存在；（III）limfx?fx0.
x?x0
x?x0
② 函数fx在点x0处连续是limfx存在的充分非必要条件.
x?x0
③ 函数fx在点x0处左连续、右连续的定义：
fx?fx0，则函数y＝fx在点x0处左连续若lim?
x?x0
若limfx?fx0，则函数y＝fx在点x0处右连续?
x?x0
例1 设函数fx
1,x?0
，试问在x?0处函数fx是否连续？ x?1,0?
x?0
解 由于f0?1，而limfx1，于是函数fx在点x?0不是左连续的， ?
从而函数fx在x?0处不连续.
?x2?3,x?0
例2 设函数fx，问a为何值时，函数fx在点x?0处连续？
?a?x,x?0
解 因为f0?3，且limfx?lima?x?a，limfx?limx?3?3，
x?0
x?0
x?0
x?0
2
故由函数fx在点x?0处连续知，a?3.
3. 函数在区间上连续
定义3 如果函数y＝fx在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y＝fx在该区间上是连续的，或者说函数在该区间上是连续函数.
函数y＝fx在其连续区间上的图形是一条连绵不断的曲线. 例3 证明函数y?3x?5x?3在,内连续. 证 设?x0?,，由极限运算法则可知，
2
x?x0
2
limfx?lim3x?5x?3?3x0?5x0?3?fx0，
x?x0
2
2
故y?3x?5x?3在点x0处连续，
由x0的任意性可知，y?3x?5x?3在,内连续.
2
二、函数的间断点 （约45min）
定义4 若函数y＝fx在x0处不连续，则x0为函数fx的一个间断点注 只要（I）（II）（III）三个条件有一个不满足，则x0为函数的间断点. 下面来观察下述几个函数的曲线在x?1点的情况，给出间断点的分类.
x2?1
y?y?x?1① ②
x?1
在x?1连续 在x?1间断，x?1极限为2 ?x?1，x?1?x?1，x?1
y?y?③ ④
?1，x?1?x，x?1
在x?1间断，x?1极限为2. 在x?1间断，
x?1左极限为2，右极限为1.
在x?0间断，x?0极限不存在.
像②③④这样在x0点左、右极限都存在
的间断点，称为第一类间断点，其中极限存在的②③称作第一类间断点的可去间断点，此时只要令y1?2，则函数在x?1就变成连续的；④被称作第一类间断点中的跳跃间断点；
⑤⑥被称作第二类间断点，其中⑤也称作无穷间断点，而⑥称作震荡间断点.
就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果x0是函数fx的间断点，但左极限
fx0?0及右极限fx0?0都存在，那么x0称为函数fx间断点的任何间断点，称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点. 显然，无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点.
练习 讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型.
x2?1sin2x
（2）fx?2 （1）fx?
x?3x?2x
答案：（1）x?0 可去间断点 （2）x?1 可去间断点，x?2 第二类间断点
4.课堂总结 （约5 min）
（1）连续的定义：limfx?fx0，三个条件缺一不可；
x?x0
（2）间断点的分类：第一类可去型、跳跃型，第二类（无穷型、振荡型）.
5.布置作业
标准化作业
