小班数学活动认识图形实录：顺德数学之窗丨均安南沙小学胡卓轩比较图形的面积课例分享

课例视频

教师介绍

胡卓轩，小学数学二级教师，顺德区南沙小学数学教师兼少先队大队辅导员。在教学实践中，坚持“以数为魂，以生为本”的教学理念，深入课堂教学，开展了一系列扎实有效的工作，在教学中形成个人的教学风格。

工作期间，曾获省第一届中小学班主任班级管理创新能力技能大赛三等奖；均安镇小学数学创新作业设计评比特等奖；均安镇小学数学微课评比一等奖；均安镇小学数学教师原创题命题评比特等奖；顺德区主题微队会活动中被评为优秀指导老师；佛山市中小学生品德故事展示活动优秀辅导教师等等，所撰写的论文多次在市、区级评比活动中获奖，并在省级刊物上发表。

教学点评

引入素材和善用教材素材是实施结构化教学的重要资源

——以北师大版五年级上册第四单元第1课时《比较图形的面积》为例

学生学习有关的“面积”内容要追溯到北师大版三年级下册第五单元《面积》，此单元中学生不仅初步认识什么是面积、比较面积大小方法（比如拼剪法，重叠法、密铺法）、面积单位以及长方形和正方形的面积公式等。学生隔了一年多的时间再次学习有关面积的内容，我们应该怎样上好五年级有关面积的第一堂课呢？笔者认为结合2022版新课标内容的要求宜采用结构化教学的思想和落实核心素养要为学生素养的形成提供合适的土壤和环境。除此外第一堂课还可以恰当渗透有关面积的两个公理和等量公理。

一、结构化教学

结构化教学的概念笔者无从界定，笔者认为，结构化很显然任何一个事物都是一个结构化的整体，它是由无数个小的结构化所构成的一个整体。小的结构化又由一些碎片的要素通过联系所构成。还可以这样去理解结构化，把某一关联的要素按照某一规则形成有显著功能的一个系统。

笔者认为每一节数学课都是一个结构，也是一种结构化教学，他教的单个知识点犹如一个细胞。专题课就像是从一个细胞变成组织的桥梁，从单个知识点逐渐形成专一知识大家庭。而单元复习课犹如一个“组织”，是细胞到组织的第一次跃迁，而最有价值的结构化教学则是如何把各个领域的课时教学、专题教学、单元复习教学形成一个大的结构，从而实现由细胞到组织再到器官的蜕变。当然这还不是最后的结构化教学，只有打破学科界限，把各个学科融进数学大结构化的教学中从能实现真正意义上的结构化教学，是最高层次的结构化教学，也就是实现由细胞到组织再到器官最后到系统。

结构化教学的关系比喻图

课时教学（比如概念课、法则课等）→单元复习课教学（又比如练习课、试卷讲评课等）→学科领域融合教学→跨学科领域融合教学（比如主题式学习课）等价于：细胞→组织→器官→系统

姑且不论落实跨学科领域融合教学（说实话现在笔者也没有良好的范本），作为数学教学现阶段主要实现前面三个结构化教学，笔者把前三者定义为小结构化教学、中结构化教学、大结构化教学。在实现结构化教学过程中我们不能只见树木，不见森林；不止只有细胞更应该有器官和系统。实施结构化教学的关键是联系和转化，是每一个层次之间的“进化过程”区即笔者定义为跃迁区。

针对本节课笔者定义为是小结构化教学，它在整个知识体系中犹如一个点而已,它是实施更大结构化教学的一个基本要素，是实施更大结构化教学不可缺的一个载体，也是课程目标体系实现的一个“火种”，它的教学特征要体现知识习得的先后顺序，逻辑关系，要帮助学生建立联系，知道“昨天”学生在哪里？“今天”要到哪里？“明天”要到哪里去？

笔者在观摩胡老师（均安南沙小学胡卓轩）的课例中是这样引入新课的：

比较下列图形的大小

胡老师设计的意图就是初步回忆数格子、重叠方法来比较图形的大小。

笔者针对这种引入的方法提出自己的看法：笔者不赞成把正方形和长方形画成有格子的图形。而是没有格子的两个图形，让学生自己去想和回忆比较图形的方法。

画成格子去比较图形面积的大小，没有给学生的量感（在没有测量工具的环境下对物体物理属性的计量能作出合理判断的能力）提供生成环境，有了格子学生就不会去想用什么办法去如何比较，不能真正钩联学生的认知结构中的经验和知识。没有格子不仅助力学生量感和空间观念的发展，而且还有助于实施结构化教学的实施，学生看到没有格子的图形就会想有什么办法呢，通过联系建立与三年级下学期学习过的《面积》中有关的知识和方法，比如通过移动利用重叠法比较，利用拼剪法来比较（也为接下来的新课问题情境图（如图1）中的图⑨的处理打下埋伏）、同时还可以通过联系学生可能想到用度量的方法度量出两个图形的边长，再通过计算来比较大小。笔者认为利用空白的图形比有格子的图形来引入本节课的价值会更大，也是实现知道学生昨天在哪里的有效纽带。

而本节课的重要目标就是要进一步发展学生的转化意识，联系和转化是实施结构化教学的精髓。图1中要比较图形面积大小，若“一对一”选择图形面积去比较，学生是容易明白易懂的（通过观察、直观感知、平移、轴对称等图形运动方式采样重叠法就可以实现），比如图1中的①与③，②与⑥，⑤与⑥等，而⑨跟⑩和⑧虽然这些图形表面上是一对一，但受学生知识储备的影响，是很难直观作出合理的判断，怎么办?“转化意识”的重要性这个时候就凸显出来啦！这个地方老师尽可能不要提供任何的提示，让学生自己去想，去推理，其实从教学现场可以发现孩子们对⑨转化为⑩很是熟悉，而⑧并不是首先想到的去把它转化为⑩。

更大的难点是学生不容易想到“多对一”（即三个甚至以上图形面积之间的数量关系）之间存在的面积之间的数量关系，比如：⑤与⑥的面积之和等于图⑧的面积，笔者不赞成采用教材的处理办法，当然也是基于学生自己的现场表现而定的，可以从图1中⑨通过剪拼变成两个面积之和等于⑩的面积，启发学生既然能够把一个图形剪出两个图形得到这两个图形的面积之和等于另一个图形的面积，那么反过来，同学们寻找一下有没有现成的两个图形的面积之和等于另一个图形的面积呢？从而引出很多的三个图形之间的面积关系，又比如学生能想到图1中①与③的面积之和等于图⑦的面积，这是非常不容易的，不仅要拼合而且还需要把图⑦进行先剪再拼方能直观看到它们之间的面积关系。这里同时也是为学习计算平行四边形的面积公式提供了必要性，可以反问学生这种拼剪算图形面积是不是很繁琐，倘若我们知道像计算长方形面积公式那样来计算平行四边形面积那就更快了。这种提醒也就是要带领学生“明天”要去哪里？就是结构化教学在本节课实施的延伸点。

二、渗透面积两个公理和等量公理

顺便补一句：本节课还是向学生渗透有关面积的两个公理和等量公理的要素材。面积的两个公理分别是：其一，全等形的面积相等。其二，面积的可加性即把一个图形分成几个部分，那么这个图形的面积就等于分成的部分图形的面积之和。而等量公理就是跟同一个量相等的量也相等。在这节可我们可以不特别着重去渗透这点，而是根据学生的回答恰当适时的去渗透，比如：有一个学生提出图1中①和③的面积相等，他说出了重叠的图形面积相等。此时老师要抓出机会强调这个面积中一个非常重要的“知识”就是能够完全重合的图形面积是相等的。有学生通过把图1中⑨剪成两个部分时，老师也要抓住时机，强调若把图形⑨剪成两个部分，那么这时⑨的面积就等于剪成的这几个部分图形的面积之和。而学生得出图1 中②跟⑥的面积相等，⑤跟⑥的面积相等时，老师也可以抓出时机强调：②与⑤都跟⑥的面积相等，那么它们的面积也相等。即等于同一个量的两个量也相等。

以上仅代表笔者个人的一孔之见，胡老师的课优点很多，正如佛山市教育局教学研究室副主任钱运涛评价说：胡老师的课教法灵活，驾驭课堂的能力强，上课善于启发学生的思考，给学生表达的机会，这样做给学生成长是很大的，让学生走在课堂的中央，尤其制作的教具大大提高了课堂教学的效益，说明课前准备发了不少的心思，小组合作学习，真实有效。

点评教师：赵阳云（顺德区教育发展中心小学数学教研员）

教学设计

教学内容：

北师大版义务教育教科书数学五年级上册第四单元第一课时

教材分析：

本节课是北师大教材五年级上册第四单元《多边形的面积》中的第一课时。它是在学生已经掌握了面积与面积单位，长方形、正方形的面积计算方法后学习的。并且为以后学习三角形、平行四边形和梯形等特殊图形面积的计算方法打下坚实的基础。

学情分析：

五年级学生的观察、动手操作、归纳概括能力已逐步形成，他们很愿意自己通过观察、动手操作、归纳整理、找出规律。他们在探索新知的过程中，主动性比较强。同时他们思维活跃，已具备了一定的探究能力和小组合作意识，但在问题解决中他们的抽象思维能力的发展水平还不高。并且学生在学习本节课之前已经学习了面积与面积单位、正方形和长方形的面积计算方法，这些都是学习本节课的知识基础。

教学目标：

1．借助方格纸，能直接判断图形面积的大小，初步体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用，积累探索图形面积的活动经验。

2．通过观察、比较、交流、归纳等活动，知道比较图形面积大小方法的多样性。

3．体验图形形状变化与面积大小变化的关系，发展空间观念。

教学重点：通过观察、比较、交流、归纳等活动，知道比较图形面积大小方法的多样性。

教学难点：体验图形形状变化与面积大小变化的关系。

教学过程：

一、激趣导入

1．学生通过比较图形的面积的大小，初步回忆数方格、重叠方法。（板书：数方格，重叠法）

2．揭示课题：除了用以上这两种方法比较图形的面积外，还有什么方法可以进行比较图形的面积。那么这节课我们就来一起学习比较图形的面积。（板书：比较图形的面积）

【设计意图：从学生已学的知识复习引入，对后面的自主探究起到了知识的正迁移作用，使学生能更加有兴趣地探究新知】

二、新课探究

活动一：

你能找到哪些面积相等的图形吗？请把找到的都记录下来。

学生先独立完成，再利用学具，小组内进行讨论并补充。

活动要求：

①先独立完成，记录在学习单上。（2分钟）

②利用学具，小组交流，分享你的发现和方法。（5分钟）

1．预设：图1=图3，数格子（重叠法）

追问：你是怎么数的? 不够一格的怎么办？

2．预设：图2=图6或者图5=图6或者图2=图5

追问：你是怎么想的？（强调运动过程）

同学们再认真观察图2、图5和图6这个三个图形，你发现了什么？

3．预设：图8=图10或者图9=图10

规范学生的数学语言：沿着这条垂直的线段分割成两部分，把这一部分平移补到后面形成一个长方形，这个长方形的面积与图10长方形的面积相等。

4．了解“出入相不”原理，出示“割补法”：像这两位同学的方法，经过分割、移补后，图形的面积没有改变。这就是数学上的“出入相补”的原理。

追问：在这个过程中，什么变了，什么没变？

【设计意图：根据学生的观察发现，引导学生动手操作验证，培养学生的探究方法和严谨性。同时使学生知道比较图形的方法】

活动二：

1．验证发现：在找面积相等的图形中，笑笑有了新的发现。你看懂了笑笑的发现吗？谁愿意上来验证一下笑笑的发现。

2．小组合作：你们能再找出像这样两个图形面积加起来等于第三个图形面积的情况？

总结：通过本节课的学习，我们了解了以上三种比较图形面积的方法。在比较图形的面积时，这些方法的使用可以根据实际的情况进行选择，还可以多种方法优化地一起使用。

【设计意图：通过学生形象、直观的自主探究后，再次与教师共同总结，归纳出比较图形面积的方法，进一步掌握图形面积的多种比较方法】

三、巩固练习

1．下面哪些图形的面积与图①一样大？（请在括号内打“✔”）

2．如图，一个长方形少了一块，你认为补上哪个图形就能使这个长方形完整了？（请在括号内打“✔”）

3．下面的哪个图形可以由左侧的两个图形拼成的？（请在括号内打“✔”）

4．写出下面图形的面积。（1格的面积是1平方厘米）

5．下面方格纸中，每个小方格的边长表示1cm。请画出3个面积都是12cm²的不同图形。

四、板书设计

比较图形的面积

教学反思

本节课是北师大教材五年级上册第四单元《多边形的面积》中的第一课时。它是在学生已经掌握了面积与面积单位，长方形、正方形的面积计算方法后学习的。并且为以后学习三角形、平行四边形和梯形等特殊图形面积的计算方法打下坚实的基础。本节课主要的教学目标是借助方格纸，能直接判断图形面积的大小，初步体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用，知道比较图形面积大小方法的多样性和体验图形形状变化与面积大小变化的关系，发展空间观念。所以我本节课的处理上，做了以下的处理：

1．注重让学生自主探究。给予学生充足的独立思考和小组合作探究的时间，并在巡视的时候照顾到所有小组的发现，肯定他们的发现。学生通过亲身经历，比一比，摆一摆，拼一拼等操作，探究出面积相等的图形，并小组内自行说说各自的想法。

2．把表现的机会留给学生。学生经过充足时间的小组合作探究后，邀请多位学生上台进行汇报自己的发现和想法。教师在旁起引导作用，注重以学生的主体。

3．利用学具、教具加深理解。学生配备了学具，而且教师特意选择了实物的教具，让学生可以上台摸得着教具，比在电脑屏幕上呈现图片的效果更好更直观。

在评课议课环节，听了钱主任和赵老师的点评并加上自己在准备和试教这一节课的过程下来的反思，我发现自己还有很多地方需要改进的,有以下几个方面：

1．要注重课堂的连贯性，拒绝碎片化。虽然说教学过程有不同的环节之分，但是课堂教学应该要体现连贯性，整体性。此时就要考验教师对环节之间的知识点的串联和环节之间的过渡能力的把控。而这恰恰是新课标里面提到了，因此我还需要加强对新课标的学习。

2．学会“大胆放手”。新教师总是害怕学生说不出，总是害怕学生做不到，因此总是着急于包办了学生的想法，导致学生思维能力得不到发展。一节好课，不再是看教师表现得多优秀，更是看孩子变现，孩子的能力和思维是否得到发展。所以，让学生“放开手、打开口、迈开脚”，这样才能爱上数学。

3．勇于尝试“生生互动”。虽然本节课许多学生都获得了分享汇报的机会，但是更多的是向教师汇报，并不是向全班同学汇报，显得台下的学生参与不到这个环节当中。所以，一节以生为本的课堂中，不仅仅需要“师生互动”，更需要的是“生生互动”，要让全体的学生都参与到课堂活动当中。

4．跳出“旧课”上“新课”。教师的教学不能只是“照本宣读”或者“就课上课”。应该是在立足于本课的基础上，把知识点上串下联，使学生将有关联的知识点逐步内化成学生自己的数学思维方法。知识的教授最终的结果应该是学生自身对知识转化成思维的过程。

5．敢不敢“翻开课本”。新教师都应该注重学生前置性学习，提前预习，让学生带着问题听课。课堂教学敢于让学生打开书本，学生会在书本上获得更多信息。让学生能在课堂前自己解决了“是什么”的问题，从而把课本中核心的“为什么”的问题留给课堂。