动力学动量守恒视频，学习哈密顿力学轻松掌握广义动量

经典力学有多种形式，从牛顿力学到拉格朗日力学再到哈密顿量，每一种形式都有其独特的数学表达方式。在量子力学中，哈密顿量被用于描述物理系统的总能量，

这是一个数学函数。动量通常可以理解为物体的运动冲量。在10月27日12时，《张朝阳的物理课》第一百八十二期正式开始直播。著名物理学家、

搜狐创始人兼首席执行官张朝阳为大家讲解了这些不同形式的力学。他首先回顾了小角近似下如何正确求解双摆的运动频率，随后介绍了广义动量和哈密顿量的定义，

并引入了哈密顿力学，这是经典力学的一种数学形式。为了更好地理解这种形式，他运用哈密顿力学来求解质点在中心力场中的运动方程，结果与牛顿力学完全一致。

从拉格朗日力学到哈密顿力学，经典力学在数学表达方面经历了多次的发展和演变。从17世纪开始，

牛顿的力学框架以其泛用性和可靠性吸引了许多物理学家和数学家深入研究。在18、19世纪之交，

拉格朗日和雅可比等数学家率先开始使用分析和代数方法重新构建力学的数学表达，这就是拉格朗日力学的起源。拉格朗日认为，

力学系统的描述可以用一个叫做拉格朗日量的函数来完成，这个函数包含了广义坐标q及其对时间的导数。对于保守系统，拉格朗日量通常包含动能和势能。

欧拉-拉格朗日方程则用来描述系统的运动路径，需要达到使得作用量最小化的要求。需要指出的是，在对拉格朗日量进行偏导的时候，需要将其视为一个二元函数。

在传统拉格朗日力学中，我们使用拉格朗日量来描述物理系统，它不依赖于时间t。这个模型使用广义坐标q来描述物理量，并假设它们是相互独立的。

尽管这两个变量只相差一个求导，但我们通常假设其中一个变量保持不变。为了强调这一点，我们可以引入记号，并用下标来表示这个不变量。然而，我们需要注意的是，

拉格朗日力学中这两个变量之间仍然存在不对称性。五十年后的今天，爱尔兰数学家哈密顿提出了一种称为“哈密顿力学”的现代物理系统描述框架。

这个新框架使用了另一个二元函数，哈密顿量来描述物理系统。哈密顿量的形式更加对称，描述了广义坐标q和广义动量p之间的相互独立关系。

哈密顿利用拉格朗日量定义了广义动量p，并用它重新定义了哈密顿量。需要注意的是，这个定义中等号右边的公式需要与广义动量p和广义坐标q有关。在具体计算中，

我们需要将广义坐标q的时间导数和拉格朗日量一起重新表示为新变量的形式。这个过程在实际推导中非常重要。接下来，我们考虑对哈密顿量的偏导数。利用链式法则，

我们可以发现广义动量p的定义可以使等号右边的后两项相互抵消。因此，我们有以下结果：H/?q=-L/?q，H/?p=?L/?q p/?q。同时，

拉格朗日方程也可以帮助我们简化这些方程，使它们更具对称性。根据哈密顿方程，我们可以将这两个结果结合起来，从而得到物理系统演化规律的本质方程：

dp/dt=-H/?q，dq/dt=?H/?p。这些方程左边的各项分别表示动量和广义坐标随时间的变化率，而右边的各项则揭示了所谓的“广义力”。需要强调的是，

这些方程具有非常相似的形式，因此我们可以推断出这两个变量之间的对称性，并进一步分析物理系统的性质。哈密顿力学是一种方便求解力学系统演化方程的力学方法。

如果哈密顿量没有时间依赖，那么它就是系统的守恒量。通过链式求导法则得到这个结论，其中第二个等式用到了哈密顿方程。举个例子，

哈密顿力学可以用于研究中心力场中天体的运动。假设有一个质量为m的天体微扰一个质量为M的天体的转动，广义坐标为径向距离r和角度θ，

系统的动能和势能可以用相应的式子表示。由于引力是保守力，拉格朗日量可以写成。广义动量可以写成，广义坐标对时间的导数可以用广义动量表示为。

哈密顿量的定义式为，但需要注意的是，在最后一步，需要将所有变量改写为用广义动量表达的形式。利用哈密顿方程，可以得到径向距离r和对应动量pr的方程，

其中广义动量的定义式并不带来新的内容。对r求偏导数，可以得到向外的向心力与用牛顿定理推导出的径向方程相一致。再求角坐标θ相关的哈密顿方程，对广义动量求导，

可以得到的是定义式。对应的另一条方程是，即角动量守恒。代入定义式，可以得到开普勒定律。因此，哈密顿力学可以轻松地导出牛顿力学的结果。从这个例子可以看出，

哈密顿力学是一种优雅而强大的方法，可以在物理学的各个领域应用。然而，对于一些高度非线性的物理问题，哈密顿力学的运用可能会受到一些限制，

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