数学典型经典例题 一道数学例题完整的解题分析过程与总结和反思

例题、在△ABC 中，∠A, ∠B , ∠C 所对应的边分别是 a, b ,c 且 c = 10 , cosA ： cosB = b ：a = 4 ：3 , P 为 △ABC 内切圆上的动点。

求点 P 到顶点 A , B ,C 的距离的平方和的最小值与最大值 。

分析：

第一步：理解题意；

本题的条件是 ： ① c = 10 ，② cosA ： cosB = b ：a = 4 ：3 ， ③ P 为 △ABC 内切圆上的动点 。

所求的结论是：点 P 到顶点 A , B ,C 的距离的平方和的最值。

综观之，这是一道关于图形的最值问题。

第二步：拟定计划；

① 已知三角形某些边角之间的数量关系，来判断这个三角形的形状或解出它 。

② 在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和或平方和的最值。

于是原问题可分列为两个较为简单的问题：

① a , b , c 为 △ABC 的三边，且 c = 10 ，cosA ： cosB = b ：a = 4 ：3 ，试确定 △ABC 的形状及其大小 。

② 在确定的 △ABC 的内切圆上有一动点 P ，试求 PA^2 PB^2 PC^2 的最小值与最大值 。

对于 ① 小题，△ABC 已具备了三个条件式，只要对数式进行适当的的推算，三角形不难解出来。

对于 ② 小题，在确定了三角形的形状及大小之后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。

至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。

第三步：实现计划；

由 cosA ： cosB = b ：a ，用 正玄定理 做代换，得 cosA ： cosB = sinA ：sinB ,

即 sinA • cosA = sinB • cosB 或 sin2A = sin 2B ,

因为 cosA ： cosB = 4 ：3 ，知 A ≠ B ，且 A ， B 是 三角形 内角 ，

所以 2A = π - 2B ，即 A B = π/2 ,

所以 △ABC 是直角三角形 。

在由 c = 10 , b ：a = 4 ：3 及 a^2 b^2 = c^2 ，可解得 a = 6 , b = 8 。

如图，建立直角坐标系，使直角 △ABC 的三个顶点为 A（8,0），B（0,6），C（0,0）。

例题图

在直角△ABC 中 ， 有 a b = c 2r , r = 2 ,

所以，内切圆的圆心为 O'（2,2），方程为 （x - 2）^2 （y - 2）^2 = 4 。

设圆上的任一点为 P（x , y）,

则有 S = ∣PA∣^2 ∣PB∣^2 ∣PC∣^2

= （x - 8）^2 y^2 x^2 （y - 6）^2 x^2 y^2

= 3 [ （x - 2）^2 （y - 2）^2 ] - 4x 76

= 3 × 4 - 4x 76

= 88 - 4x

因为 P 是内切圆上的点，故 0 ≤ x ≤ 4 ，

于是当 x = 4 时，有最小值 72 ； 当 x = 0 时，有最大值 88 。

第四部：回顾讨论；

当 x = 0 时 ，P 点运动到 BC 边上的 M ，此时所求的平方和最大值为 88 ；

当 x = 4 时，P 点于东到过 M 的直径的另一端点 N ，此时所求的平方和最小值为 72 。

总结与反思：

（1）对于同样的素材（题设条件），选用不同的加工方法（解题方法），其繁简程度是有显著区别的；

（2）从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生；

（3）数学结合，会使计算大为简化，并且可能揭露问题的实质。

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