二次函数初中几何解题技巧 中考几何压轴，108几何与函数

中考几何压轴 108 几何与函数 二次函数 求线段比 交点坐标的表达

这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。

题 115. 《二次函数·线段比》

如图，直线L分别与抛物线y＝x²，y＝2x²的图像顺次交于A、B、C、D四点，AB＝2CD，试求BC/AD的值。

〖一般性提点〗

[1]. 二次函数与一次函数的交点坐标，总是有两组等价的表达：

<1>. 基于一次函数的表示法；

<2>. 基于二次函数的表示法；

[2]. 为方便以点坐标表示线段长度，总要作平行（或垂直）于坐标轴的直线；

[3]. 斜线段之比，一般要转化为相应的平行（或垂直）于坐标轴的线段之比；这自然要以相应的相似三角形为基础才可以做到。

〖题目分析〗

设直线L的函数表达式为y＝kx＋m；

基于一次函数的交点坐标表达：

A(a, ka＋m)、B(b, kb＋ m)、C(c，kc＋m)、D(d, kd＋m)；

基于抛物线的交点坐标表达：

A(a，a²)、B(b，2b²)、C(c，2c²)、D(d，d²)；

过点A、B、C、D分别作平行于y轴的直线，分别交x轴于E、F、G、H；

过B、C、D再分别作平行于x轴的直线，直线间的关联交点标记如图所示；

易知，上图中诸Rt三角形之间是相似的：

由△BCN∽△ADQ：

所求

BC/AD＝CN/DQ＝(c－b)/(d－a) ①；

进一步的方向，就是基于相似，建立a、b、c、d满足的三个方程：

由题设及△ABM∽△CDP：

AM/CP＝AB/CD＝2，

基于直线的点坐标表达，有

AM＝k(a－b)，CP＝k(c－d)，得：

(a－b)＝2(c－d) ②

基于抛物线的点坐标表达：

AM＝a²－2b²，CN＝2c²－d²，得：

a²－2b²＝2(2c²－d²) ③

再由△ADQ∽△BCM：

AQ/DQ＝BM/CM

其中AQ＝a²－d²，DQ＝d－a；

BM＝2b²－2c²，CM＝c－b；

代入并整理得：

a＋d＝2(b＋c) ④

联立解②、③、④，最终求得：

b＝2a/3，c＝-a/2，d＝-b；

代入①得所求：

BC/AD＝7/10.