五次方程的解怎么表示？证明五次以上一般方程无代数解

伽罗瓦当年创造的群论、环论、域论的理论，最初都是为了解决那个著名的问题:五次以上一般方程无代数解的问题。当然现在它的应用已经渗入到数学甚至其他科学的方方面面。有了前面的知识，现在就来解决这个著名的千年难题。解方程的过程本质上就是对方程的系数域进行根式扩张，下面的定义清晰地描述了根式扩张和根式可解。

定义1（根式扩张）：设E/F为域的扩张，若E=F(d),且存在自然数n，d的n次方属于F，则E/F叫作根式扩张。

定义2（根式可解）：

设F为域，f(x)为F[x]中首一多项式，deg f大于等于1，E为f(x)在F上的分裂域，方程f(x)=0叫作在域F上根式可解指的是存在域的扩张序列满足以下条件：

下面的定理1描述了根式可解与伽罗瓦群可解的关系，它是解决五次以上一般方程无代数解的关键。在前面伽罗瓦扩张的部分已经展示了这两者之间密切的关系。关于域的特征，在前面讲环的理论的时候说过，特征0域，就是不存在某个正整数，使得它乘域的任意元素等于0。例如有理数域、实数域就是特征0域。这个定理的证明省略。

定理1：设F为特征0域，f(x)为F[x]中首一多项式，deg f 大于等于1，则f(x)=0在F上根式可解当且仅当f(x)在F上的伽罗瓦群为可解群。

证明：略。

下面我们来证明五次以上一般方程无代数解。这里的难点在于不是证明某一个特殊的方程，所以系数是不定元。我们知道方程的系数可以表示成方程根的有理对称函数，但反过来根则未必能表示为系数的初等函数。这个问题怎么解决呢？怎么来通过系数描述根呢？这个证明用到的技巧在前面域的扩张里已经出现过，就是利用同构，构造一个相同的方程，这时候将方程的根作为不定元，则方程的系数成了不定元的有理对称函数。该方程的伽罗瓦群很容易确定，就是Sn,于是原方程的伽罗瓦群就是Sn了。

我们知道三次方程是有代数解的，在《如何推导三次方程和四次方程求根公式》这一篇中已经写出了求解的过程，现在我们用伽罗瓦的理论回顾，为什么应该这样解？

这个扩域比分裂域E要大，正是因为如此，所以尽管一个三次方程它必有一个实根，可是这个实根的表达式里仍然会有复数，即实根要通过复数得到，这就是有名的"不可简化情况"，它出现的本质原因是，三次方程的分裂域不存在方程的扩张序列里，只能成为扩张序列里某个域的子域。