高一数学不等式求最值简单例题，高一数学一一构造基本不等式求最值

二、“和"定“积”最大

ab≤(a b╱2)²当且仅当a=b时等号成立。

例：求函数y=X(1一3Ⅹ)(O<X<1/3)的最大值。

[思路探寻]0<X<1/3，1一3Ⅹ>0，“①正”满足。构造3Ⅹ (1一3X)=1，“②定“满足。也可以这样构造y=3X(1/3一X)。

y=1/3·3Ⅹ(1一3Ⅹ)≤1/3[(3X 1一3X)/2]²=1/12，当且仅当3X=1一3X即X=1/6时等号成立。

故当X=1/6时，函数取得最大值1/12。

[迁移1]已知X>1，y>1，X y=6，求(1一X)(1一y)的最大值。

[思路探寻]①构造“一正"：(1一X)(1一y)=(X一1)(y一1)；

②构造“二定"：X一1 y一1=X y一2=4；

[解析]：(1一X)(1一y)=(X一1)(y一1)≤[(X一1 y一1)/2]²=4，当且仅当X一1=y一1即X=y=3时等号成立。

故当X=y=3时，(1一Ⅹ)(1一y)的最大值为4。

[迁移3]求函数y=√2x一1 √5一2X(1/2<X<5/2)的最大值。

[思路探寻](2X一1) (5一2X)=4(定值)，但要化解根号，因为y>0，先两边平方，再取算术根。

[解析]：y²=4 2√(2Ⅹ一1)(5一2X)≤4 (2X一1) (5一2X)=8，

当且仅当2X一1=5一2X即Ⅹ=3/2时等号成立。

又y>0，所以0<y≤2√2。

故当X=3/2时，y取最大值2√2。

[迁移4]已知正数a，b满足2a² b²=3,求a√b² 1的最大值。

[思路探寻]利用公式2ab≤a² b²，构造定值2a² b²=3

[解析]:a√b² 1=1/√2X√2a√b² 1

≤√2/2X(2a² b² 1)/2=√2

当且仅当√2a=√b² 1且2a² b²=3时,“=”成立,

解得a²=1,b²=1,即a=1,b=1时,a√b² 1有最大值2.

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