校验码用什么公式计算？海明校验码的计算及检验

最近和兄弟探讨一个海明校验码的题目，因为学了很久所以有些记不清了，趁着这个机会，复习了一下海明校验码及校验过程，以此为记录。

百度百科： “由Richard Hamming于1950年提出、还被广泛采用的一种很有效的校验方法，是只要增加少数几个校验位，就能检测出二位同时出错、亦能检测出一位出错并能自动恢复该出错位的正确值的有效手段，后者被称为自动纠错。”

我们知道，通常情况下使用奇偶校验法可以识别数据是否发生错误，但是并不能知道是哪里的数据发生了问题。有了这个前提，于是我们观察到海明校验码，它增加很少的几个校验位来检测出出错数据的位置，其检测原理概述如下：

百度百科： “它的实现原理，是在k个数据位之外加上r个校验位，从而形成一个k r位的新的码字，使新的码字的码距比较均匀地拉大。”

现在看来或许还是比较不容易看懂，接下来我用过一个做过的实验题目来分析。

首先介绍一下海明校验码公式：

公式中，k为校验码的位数，n为原数据的位数。

2^k表示这k位能够表示的状态数，因为每一个校验码都有0或1两种可能，那么和原数据组合产生的状态数量就是 2^k种，在这么多种可能中有一种状态代表正确校验的情况，而剩下的2^k−1种状态就用来对应错误校验的情况。

通过这个公式，我们就可以计算出一个已知原始数据所需要的最小校验位数。下面举一个我做过的一个实验题目作为例子：

这一原始数据0110，n = 4 ，根据海明校验码公式可以得到需要添加的校验码位数k = 3

有话说： 校验码放置的位置应为2的整数次幂，即Pi=2^i

于是我们得到了这样一个待计算的海明码：

其中，P0、P1、P2为三个我们添加的校验码

接下来我们为每一个数据添加校验组，校验组是什么意思呢，就是这一下标对应的数据可以由一个校验组来唯一对应检验。通俗地讲，做法就是将每一个数据位的下标分解成校验码所在下标的和，（校验位不分解），拿我们的例子来看看：

有话说： 例如下标5还可以分解成2 3那为什么不选2 3呢？这是因为下标3是数据位而不是校验位，所以这里我们选的是1 4的分解。

计算海明校验码的最后一个步骤就是得出P0、P2、P3的具体值，其做法为：

计算Pi的值，就在校验组中将与Pi有关的那几组数据做 异或（相同为0，不同为1） 运算

拿我们的例子来看看：

计算结束后，和原来的数据组合我们就得到了海明校验码：

接下来我们利用海明校验码来校验数据：

例如我们有一个待检测的数据：